椭圆的核心公式包括标准方程、焦点坐标、离心率、准线方程、参数方程以及面积公式。其中，当椭圆中心在原点，长轴在x轴上时，标准方程为 x²/a² + y²/b² = 1（a＞b＞0），焦点坐标为 (±c, 0)，c² = a² - b²；离心率 e = c/a（0＜e＜1）；准线方程 x = ±a²/c；参数方程 x = a cosθ，y = b sinθ；椭圆面积 S = πab。对于长轴在y轴上的情况，只需将x与y互换。此外，还有切线方程、弦长公式等衍生公式，掌握这些是解决椭圆几何问题的关键。
椭圆是平面内到两个定点（焦点）距离之和等于常数（2a）的点的轨迹，其所有公式均围绕这一几何定义展开。下面系统梳理椭圆的全部常见公式，涵盖标准方程、几何性质、坐标计算及实际应用。
标准方程
- 焦点在x轴：x²/a² + y²/b² = 1（a＞b＞0）
- 焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1（a＞b＞0）
其中a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距，满足c² = a² - b²。
焦点与顶点
- 焦点：F₁(-c, 0)，F₂(c, 0)（x轴型）；F₁(0, -c)，F₂(0, c)（y轴型）
- 顶点：长轴端点(±a, 0)或(0, ±a)，短轴端点(0, ±b)或(±b, 0)
离心率
e = c/a = √(1 - b²/a²)，范围0＜e＜1，决定椭圆扁平程度。
准线方程
- x轴型：x = ±a²/c
- y轴型：y = ±a²/c
焦半径公式
- 对于椭圆上一点P(x₀, y₀)，焦半径：
通径（过焦点垂直于长轴的弦）
长度 = 2b²/a
参数方程
x = a cosθ，y = b sinθ，θ为离心角（非旋转角）
面积公式
S = πab
周长近似公式
椭圆周长精确计算涉及椭圆积分，常用近似公式：L ≈ π[3(a+b) - √((3a+b)(a+3b))]（拉马努金公式）
切线方程
- 过椭圆上点(x₀, y₀)的切线：x₀x/a² + y₀y/b² = 1（x轴型）
- 斜率k的切线：y = kx ± √(a²k² + b²)
弦长公式
设直线y = kx + m与椭圆相交于两点，弦长
中点弦斜率公式
若弦AB中点M(x₀, y₀)，则弦斜率k = -b²x₀/(a²y₀)（x轴型）
以上公式覆盖了椭圆从定义到应用的主要运算，熟练掌握可应对高考、竞赛及工程计算中的椭圆问题。
【常见问题】
问题1：椭圆面积公式是什么？如何推导？
回答1：椭圆面积公式为S = πab，其中a为长半轴，b为短半轴。推导可通过定积分或参数方程：将椭圆方程化为参数形式x = a cosθ，y = b sinθ，面积S = ∫∫dxdy = ab∫∫dθdr = πab。
问题2：椭圆离心率公式与椭圆形状有何关系？
回答2：椭圆离心率公式为e = c/a，e越接近0，椭圆越接近圆；e越接近1，椭圆越扁。当e=0时，c=0，a=b，椭圆退化为圆；当e=1时，c=a，椭圆变为抛物线（但实际椭圆e＜1）。
问题3：椭圆标准方程中a和b哪个更大？如何判断焦点在哪个轴？
回答3：在椭圆标准方程x²/a² + y²/b² = 1中，a始终大于b（a＞b＞0），焦点在x轴上；若方程为y²/a² + x²/b² = 1，则a＞b，焦点在y轴上。比较分母大小：分母大的对应长轴，焦点就在该坐标轴上。
问题4：如何用椭圆参数方程表示椭圆上的点？参数θ是旋转角吗？
回答4：椭圆参数方程为x = a cosθ，y = b sinθ，θ称为离心角，不是旋转角。它表示以原点为圆心、半径为a的圆上一点与x轴夹角对应的参数，但椭圆上点的极角不等于θ。例如θ=0对应点(a,0)，θ=π/2对应点(0,b)。