【代数余子式怎么算】在学习线性代数的过程中，代数余子式是一个非常重要的概念，尤其在计算行列式、矩阵的逆以及求解方程组时经常用到。本文将从代数余子式的定义出发，逐步讲解如何计算它，并通过表格形式对关键步骤进行总结。
一、什么是代数余子式？
代数余子式（Cofactor）是针对矩阵中的某个元素 $ a_{ij} $ 而言的，它是该元素所在的行和列被删除后，剩余部分所构成的子矩阵的行列式，再乘以一个符号因子 $ (-1)^{i+j} $。
即：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中：
- $ C_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式；
- $ M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的余子式（即去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式）；
- $ (-1)^{i+j} $ 是符号因子，用于决定正负号。
二、代数余子式的计算步骤
1. 确定目标元素：找到你想要计算代数余子式的元素 $ a_{ij} $。
2. 删除对应行和列：将矩阵中第 $ i $ 行和第 $ j $ 列删除，得到一个 $ (n-1) \times (n-1) $ 的子矩阵。
3. 计算余子式：计算这个子矩阵的行列式，即为 $ M_{ij} $。
4. 应用符号因子：根据位置 $ i $ 和 $ j $ 的奇偶性，判断符号是正还是负，即 $ (-1)^{i+j} $。
5. 得出代数余子式：将余子式与符号因子相乘，得到最终的代数余子式 $ C_{ij} $。
三、代数余子式计算示例
假设我们有一个 3×3 矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}
$$
我们来计算元素 $ e $（即 $ a_{22} $）的代数余子式 $ C_{22} $。
1. 目标元素：$ a_{22} = e $
2. 删除第 2 行和第 2 列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
a & c \\
g & i \\
\end{bmatrix}
$$
3. 计算余子式：
$$
M_{22} = \det\begin{bmatrix}
a & c \\
g & i \\
\end{bmatrix} = ai - cg
$$
4. 符号因子：$ (-1)^{2+2} = 1 $
5. 代数余子式：
$$
C_{22} = 1 \cdot (ai - cg) = ai - cg
$$
四、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定目标元素 $ a_{ij} $ |
| 2 | 删除第 $ i $ 行和第 $ j $ 列，得到子矩阵 |
| 3 | 计算子矩阵的行列式，得到余子式 $ M_{ij} $ |
| 4 | 根据 $ i $ 和 $ j $ 的奇偶性，计算符号因子 $ (-1)^{i+j} $ |
| 5 | 将余子式与符号因子相乘，得到代数余子式 $ C_{ij} $ |
五、注意事项
- 代数余子式主要用于行列式的展开计算，尤其是按行或按列展开时。
- 在计算高阶行列式时，代数余子式的使用可以简化运算过程。
- 代数余子式的符号由其位置决定，不是简单的正负号，需注意 $ i + j $ 的奇偶性。
通过以上步骤和示例，我们可以清晰地理解代数余子式的计算方法。掌握这一概念，有助于更深入地理解和应用线性代数的相关知识。