【定积分和不定积分的公式】在微积分中，定积分与不定积分是两个基本且重要的概念。它们分别用于计算函数在某一区间上的面积（定积分）以及求原函数（不定积分）。本文将对常见的定积分和不定积分的公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅与理解。
一、不定积分的基本公式
不定积分是求导运算的逆运算，即若 $ F'(x) = f(x) $，则
$$
\int f(x)\,dx = F(x) + C
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、定积分的基本公式
定积分是将函数在某一区间上的“面积”进行量化计算。若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则
$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$
| 函数 $ f(x) $ | 定积分 $ \int_a^b f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln\left | \frac{b}{a}\right | $ |
| $ e^x $ | $ e^b - e^a $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos b + \cos a $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin b - \sin a $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan b - \tan a $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot b + \cot a $ |
三、常见积分技巧
1. 换元法：设 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du $
2. 分部积分法：$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $
3. 三角代换：适用于含根号或平方项的函数
4. 有理函数分解：将复杂分数拆分为简单分式后积分
四、小结
定积分和不定积分是微积分的核心内容，它们不仅在数学中有广泛应用，在物理、工程、经济学等领域也扮演着重要角色。掌握这些基本公式的使用方法，有助于更深入地理解函数的变化规律和实际问题的建模过程。
通过以上表格和说明，可以系统地了解不同函数的积分形式及其计算方式，为后续的学习和应用打下坚实基础。